• Посібник для підготовки учнів до ЗНО.
  • Методична розробка "Вчимося вирішувати" завдання на дотичну ""




    Скачати 59.62 Kb.
    Дата конвертації24.05.2017
    Розмір59.62 Kb.

    Краснодарський край

    муніципальне утворення Кримський район

    муніципальне автономне загальноосвітній заклад

    середня загальноосвітня школа № 11 станиці Нижньобаканська.




    Посібник для підготовки учнів до ЗНО.


    Вчимося вирішувати

    «Завдання на дотичну»



    hello_html_m2d32e2a3.gifhello_html_688da326.gif у у = KХ + b

    hello_html_m4c500000.gifhello_html_m1180544b.gif



    hello_html_3180b8ae.gif у = f (х)

    hello_html_5a40fb98.gif

    hello_html_m4b885101.gif х

    х 0 0







    Учитель Кононова Н.Б.





    Завдання №1.

    Скласти рівняння дотичної до графіка функції hello_html_m4b2f708b.gif

    в точці з абсцисою hello_html_m49c752d9.gif . Написати рівняння однієї з прямих, паралельних цій дотичній.

    Рішення.

    Загальне рівняння дотичній має вигляд: hello_html_665cf929.gif hello_html_6e9c6fe.gif hello_html_4d23b756.gif hello_html_7f7a23e9.gif

    Отримаємо рівняння шуканої дотичній

    hello_html_4c6bcd7a.gif

    hello_html_634bdbcc.gif

    hello_html_1607ae61.gif

    Як рівняння прямої, паралельної шуканої дотичній можна взяти hello_html_798e49bd.gif .



    відповідь: hello_html_1607ae61.gif ; hello_html_798e49bd.gif .


















    Завдання №2.

    Знайти абсциси всіх спільних точок графіка функції hello_html_60fc88cc.gif і дотичній, проведеної до графіка цієї функції в точці з абсцисою hello_html_1bfd50f7.gif .

    Рішення.

    маємо функцію hello_html_60fc88cc.gif і точку її графіка з абсцисою hello_html_1bfd50f7.gif .

    Область визначення функції: х hello_html_m52c1b9eb.gif

    hello_html_m2cb72a7b.gif


    hello_html_m25ea098d.gif


    тоді hello_html_m231b0d8d.gif , hello_html_570ee8ba.gif .

    Рівняння шуканої дотичній:

    hello_html_257959e3.gif , тобто hello_html_acb41b0.gif

    hello_html_295bb2f4.gif .

    Щоб знайти абсциси всіх спільних точок графіка функції hello_html_60fc88cc.gif і дотичній hello_html_295bb2f4.gif , Треба вирішити рівняння hello_html_214dd16e.gif рівносильне сукупності двох систем:

    hello_html_5e4da99e.gif

    Вирішимо першу систему: hello_html_7fbc4b12.gif hello_html_201a414e.gif hello_html_m4a2326ec.gif

    отримаємо hello_html_5efc0559.gif .

    Знайдемо рішення другої системи: hello_html_m503a697.gif hello_html_84f0316.gif hello_html_mdff824f.gif hello_html_m38fd48bb.gif звідси hello_html_4fcfcf92.gif


    відповідь: hello_html_m2882ff5c.gif або hello_html_14b37c3f.gif .


    Завдання №3.


    Написати рівняння дотичної до графіка функції hello_html_2f2193aa.gif в точці графіка з ординатою 32.


    Рішення.


    Загальне рівняння дотичній має вигляд: hello_html_m2264d2b1.gif тому

    hello_html_3f985d17.gif то hello_html_m2b5d9e4c.gif

    знайдемо значення hello_html_18368aa8.gif .

    За умовою hello_html_mb565b93.gif звідси hello_html_515f737d.gif hello_html_me49f461.gif , hello_html_6a1a0ae6.gif

    знайдемо hello_html_m798ae284.gif

    hello_html_m625db458.gif звідси hello_html_c046073.gif


    Рівняння шуканої дотичній

    hello_html_4d90cb.gif

    відповідь: hello_html_4d90cb.gif






















    Завдання №4.



    Довести, що дотичні, проведені до графіка функції hello_html_m18ec9cd5.gif в точках перетину його з осями координат, паралельні між собою.

    Рішення.

    hello_html_m18ec9cd5.gif , hello_html_m1fb0aad8.gif якщо hello_html_99c0dcc.gif . Звідси випливає, що A hello_html_m6fcfda2a.gif - точка перетину графіка функції з віссю абсцис.

    Знайдемо похідну і її значення в цій точці.

    hello_html_m18413696.gif hello_html_m2d74134d.gif Отже, кутовий коефіцієнт дотичної, проведеної до графіка даної функції в точці A hello_html_1ba97a2f.gif дорівнює 0,5.

    В hello_html_118d59a9.gif - точка перетину графіка функції з віссю ординат. У цій точці hello_html_10b5fab6.gif

    Кутовий коефіцієнт дотичної, проведеної до графіка даної функції в точці В hello_html_f8d7b2.gif також дорівнює 0,5.


    Так як кутові коефіцієнти рівні, то дотичні або паралельні, або збігаються.

    Покажемо, що вони різні.

    hello_html_6703f3a1.gif - рівняння дотичної в точці A hello_html_m6fcfda2a.gif .

    точка В hello_html_118d59a9.gif не належить цій прямій (тому що 2 = 0,5 (0 - 4) - невірне).


    Значить, дотичні, проведені до графіка функції hello_html_m18ec9cd5.gif в точках перетину його з осями координат, паралельні між собою.













    Завдання №5.

    У яких точках графіка функції hello_html_m27aa79e9.gif дотична до цього графіку утворює з позитивним напрямом осі ОХ кут hello_html_m18e23c71.gif


    Рішення.

    hello_html_m27aa79e9.gif , hello_html_f9647f8.gif

    знайдемо hello_html_m798ae284.gif

    hello_html_m36aa8a6b.gif , hello_html_1917a1ea.gif hello_html_m23c8dd6a.gif

    вирішимо рівняння

    hello_html_m3aa595cf.gif , hello_html_m2aff0da5.gif hello_html_124282d7.gif hello_html_78996891.gif

    hello_html_m2095c26e.gif або hello_html_127bd012.gif

    hello_html_m1d32f053.gif ;

    hello_html_31ac92bd.gif ;

    Значить в точках А (1; 1 + hello_html_m75f57413.gif ) І В ( hello_html_m4c78af3.gif ) Дотична до графіка функції hello_html_m27aa79e9.gif утворює з позитивним напрямом осі ОХ кут hello_html_m5d5890a3.gif


















    Завдання №6.

    Знайти рівняння всіх дотичних до графіка функції hello_html_785210ed.gif , Що проходять через точку А (2; 3).

    Рішення.

    Точка А (2; 3) не належить графіку функції hello_html_m6d71ea8c.gif , т.к. її координати не задовольняють цієї залежності. Рівняння дотичної будемо шукати у вигляді hello_html_3fcf6fe8.gif

    Знайдемо абсциссу точки дотику х 0.

    hello_html_18069ab1.gif hello_html_m592c92a8.gif

    тоді hello_html_m66437a5d.gif -уравненіе шуканої дотичній.

    Так як точка А (2; 3) належить дотичній, то її координати повинні задовольняти цим рівнянням

    hello_html_m7ff64268.gif

    Вирішимо отримане рівняння щодо х 0.

    hello_html_m72d2a4f3.gif


    hello_html_m2c01c0ce.gif

    hello_html_5a392bb.gif hello_html_25601272.gif


    hello_html_m68678f80.gif або hello_html_m2095c26e.gif

    якщо hello_html_m42d463cc.gif hello_html_2847c8d6.gif то hello_html_741866e0.gif hello_html_3926826c.gif , тоді

    hello_html_7fe8436.gif hello_html_m6003e3fb.gif - рівняння дотичної до графіка даної функції в точці з абсцисою hello_html_20cd91ff.gif


    якщо hello_html_d19f8c4.gif hello_html_2847c8d6.gif то hello_html_m138614b4.gif hello_html_2b536112.gif , тоді

    hello_html_6003a022.gif hello_html_4714145d.gif - рівняння дотичної до графіка даної функції в точці з абсцисою hello_html_6a1a0ae6.gif


    відповідь: hello_html_29018f06.gif або hello_html_85b6e2f.gif

    Завдання №7.

    Чи є пряма hello_html_3e5b962b.gif дотичній до параболи hello_html_mdee9b37.gif

    Якщо так, то знайти координати точки дотику.


    Рішення.


    якщо пряма hello_html_3e5b962b.gif дотична до параболи hello_html_40e13e31.gif в точці з абсцисою hello_html_m7c2df624.gif то hello_html_3d140385.gif

    hello_html_2b87996b.gif = 2х + 4

    hello_html_m13dbd900.gif , тоді hello_html_m6960cac7.gif hello_html_22e097f6.gif hello_html_730a411.gif

    Знайдемо значення функції і її похідної в цій точці:

    hello_html_m228d669d.gif hello_html_m10a9329c.gif

    hello_html_m62efbfcb.gif

    Звідси hello_html_m142781c3.gif , hello_html_3e5b962b.gif - рівняння дотичної до параболи в точці (3; 26), воно збігається з рівнянням даної прямої.



    Відповідь: так, А (3; 26).



















    Завдання №8.

    Чи є пряма hello_html_m135882fd.gif дотичної до графіка функції hello_html_m62300ad8.gif ? Відповідь обґрунтувати.

    Рішення:

    якщо пряма hello_html_m135882fd.gif є дотичною до графіка функції

    hello_html_5e150b6f.gif в точці графіка з абсцисою hello_html_4b83d5fc.gif , то hello_html_m1dcd3650.gif ,

    тобто hello_html_6e948317.gif , hello_html_m2095c26e.gif

    Складемо рівняння дотичної до графіка функції hello_html_1b97764f.gif в точці графіка з абсцисою hello_html_m2095c26e.gif і порівняємо його з рівнянням даної прямої.

    hello_html_m31c419a1.gif , hello_html_m4c352ee2.gif

    отримуємо hello_html_m7b320000.gif hello_html_m52b587d1.gif - рівняння шуканої дотичній.

    Воно не збігається з рівнянням даної прямий hello_html_4969fbd6.gif

    Значить, пряма hello_html_m135882fd.gif не є дотичної до графіка функції hello_html_m62300ad8.gif .



    Відповідь: ні.























    Завдання №9.

    Скласти рівняння всіх загальних дотичних до графіків функцій

    hello_html_1cbc784e.gif і hello_html_m253de064.gif .


    Рішення:


    Дані функції диференціюються на R і тому їх графіки мають невертикальною дотичну в будь-якій точці.

    якщо hello_html_4eac7e1b.gif - рівняння шуканої дотичній, то кожне з рівнянь hello_html_71c62740.gif і hello_html_m2111fbdb.gif повинно мати єдиний корінь (дотична до параболи має тільки одну спільну точку з параболою - точку дотику). Значить, дискриминант кожного рівняння має дорівнювати нулю.

    hello_html_78ce7140.gif hello_html_m61de2746.gif

    hello_html_m195cf4f9.gif , hello_html_70ce3152.gif

    Параметри k і b повинні задовольняти системі hello_html_md6bf1d7.gif


    Почленно віднімаємо з другого рівняння першого


    hello_html_5a07bb0b.gif hello_html_m37dce267.gif hello_html_e2a766d.gif або hello_html_m23ddac89.gif


    Рівняння загальних дотичних до графіків даних функцій:

    hello_html_6d4e1e2f.gif або hello_html_183adebb.gif



    відповідь: hello_html_6d4e1e2f.gif або hello_html_183adebb.gif













    Завдання №10.

    Відомо, що пряма hello_html_77cc0bee.gif є дотичною до графіка функції hello_html_m1680a5ad.gif Знайти координати точки дотику.

    Рішення:

    За умовою похідна функції hello_html_m6ca2448.gif в точці hello_html_4b83d5fc.gif повинна бути дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної і значення даних функцій в точці hello_html_4b83d5fc.gif повинні збігатися.

    hello_html_m5d1b1553.gif

    маємо систему hello_html_m1cedaac3.gif



    hello_html_7e1318f9.gif hello_html_m692262fe.gif hello_html_m64c9b9b2.gif 1 або hello_html_6dbb128e.gif

    hello_html_m64c9b9b2.gif 1 задовольняє другому рівнянню

    hello_html_m2ad73336.gif , - 7 = - 7 - вірне.

    hello_html_6dbb128e.gif не задовольняє другого рівняння. точкою дотику

    Тому точкою дотику даної прямий hello_html_77cc0bee.gif і графіка функції hello_html_34b332c6.gif буде точка А (1; -7).



    Відповідь: (1; -7).













    Завдання №11.

    Парабола з вершиною на осі абсцис стосується прямої hello_html_6d4e1e2f.gif в точці

    А (-1; -1). Знайти рівняння параболи.


    Рішення:


    Так як вершина параболи знаходиться на осі абсцис, то рівняння параболи має вигляд hello_html_m7c7ebd70.gif , m hello_html_m5192a1b8.gif

    Визначимо m і а.

    hello_html_2d69db40.gif hello_html_m5844769.gif

    За умовою кутовий коефіцієнт дотичної дорівнює 1, значить

    hello_html_1747fa0.gif .

    Точка А (-1; -1) належить параболі, тому її координати задовольняють рівняння параболи, тобто hello_html_29819148.gif

    вирішуємо систему hello_html_1165e233.gif


    Поділимо перше рівняння на друге почленно

    hello_html_42810572.gif hello_html_6a3663f4.gif а = 1.


    hello_html_accd001.gif hello_html_m78fa1aea.gif hello_html_238f1325.gif


    hello_html_m27984b60.gif - шукане рівняння параболи.



    відповідь: hello_html_2470d5a2.gif











    Скачати 59.62 Kb.