Краснодарський край
муніципальне утворення Кримський район
муніципальне автономне загальноосвітній заклад
середня загальноосвітня школа № 11 станиці Нижньобаканська.
Посібник для підготовки учнів до ЗНО.
Вчимося вирішувати
«Завдання на дотичну»
у у = KХ + b
у = f (х)
х
х 0 0
Учитель Кононова Н.Б.
Завдання №1.
Скласти рівняння дотичної до графіка функції 
в точці з абсцисою 
. Написати рівняння однієї з прямих, паралельних цій дотичній.
Рішення.
Загальне рівняння дотичній має вигляд: 
Отримаємо рівняння шуканої дотичній
Як рівняння прямої, паралельної шуканої дотичній можна взяти 
.
відповідь: ; .
Завдання №2.
Знайти абсциси всіх спільних точок графіка функції 
і дотичній, проведеної до графіка цієї функції в точці з абсцисою 
.
Рішення.
маємо функцію і точку її графіка з абсцисою .
Область визначення функції: х 
тоді 
, 
.
Рівняння шуканої дотичній:
, тобто 
.
Щоб знайти абсциси всіх спільних точок графіка функції і дотичній , Треба вирішити рівняння 
рівносильне сукупності двох систем:
Вирішимо першу систему: 
отримаємо 
.
Знайдемо рішення другої системи: 
звідси 
відповідь: 
або 
.
Завдання №3.
Написати рівняння дотичної до графіка функції 
в точці графіка з ординатою 32.
Рішення.
Загальне рівняння дотичній має вигляд: 
тому
то 
знайдемо значення 
.
За умовою 
звідси 
, 
знайдемо 
звідси 
Рівняння шуканої дотичній
відповідь:
Завдання №4.
Довести, що дотичні, проведені до графіка функції 
в точках перетину його з осями координат, паралельні між собою.
Рішення.
, 
якщо 
. Звідси випливає, що A 
- точка перетину графіка функції з віссю абсцис.
Знайдемо похідну і її значення в цій точці.
Отже, кутовий коефіцієнт дотичної, проведеної до графіка даної функції в точці A 
дорівнює 0,5.
В 
- точка перетину графіка функції з віссю ординат. У цій точці 
Кутовий коефіцієнт дотичної, проведеної до графіка даної функції в точці В 
також дорівнює 0,5.
Так як кутові коефіцієнти рівні, то дотичні або паралельні, або збігаються.
Покажемо, що вони різні.
- рівняння дотичної в точці A .
точка В не належить цій прямій (тому що 2 = 0,5 (0 - 4) - невірне).
Значить, дотичні, проведені до графіка функції в точках перетину його з осями координат, паралельні між собою.
Завдання №5.
У яких точках графіка функції 
дотична до цього графіку утворює з позитивним напрямом осі ОХ кут 
Рішення.
, 
знайдемо
, 
вирішимо рівняння
, 
або 
;
;
Значить в точках А (1; 1 + 
) І В ( 
) Дотична до графіка функції утворює з позитивним напрямом осі ОХ кут 
Завдання №6.
Знайти рівняння всіх дотичних до графіка функції 
, Що проходять через точку А (2; 3).
Рішення.
Точка А (2; 3) не належить графіку функції 
, т.к. її координати не задовольняють цієї залежності. Рівняння дотичної будемо шукати у вигляді 
Знайдемо абсциссу точки дотику х 0.
тоді 
-уравненіе шуканої дотичній.
Так як точка А (2; 3) належить дотичній, то її координати повинні задовольняти цим рівнянням
Вирішимо отримане рівняння щодо х 0.
або
якщо 
то 
, тоді
- рівняння дотичної до графіка даної функції в точці з абсцисою 
якщо 
то 
, тоді
- рівняння дотичної до графіка даної функції в точці з абсцисою
відповідь: 
або 
Завдання №7.
Чи є пряма 
дотичній до параболи 
Якщо так, то знайти координати точки дотику.
Рішення.
якщо пряма дотична до параболи 
в точці з абсцисою 
то 
= 2х + 4
, тоді 
Знайдемо значення функції і її похідної в цій точці:
Звідси 
, - рівняння дотичної до параболи в точці (3; 26), воно збігається з рівнянням даної прямої.
Відповідь: так, А (3; 26).
Завдання №8.
Чи є пряма 
дотичної до графіка функції 
? Відповідь обґрунтувати.
Рішення:
якщо пряма є дотичною до графіка функції
в точці графіка з абсцисою 
, то 
,
тобто 
,
Складемо рівняння дотичної до графіка функції 
в точці графіка з абсцисою і порівняємо його з рівнянням даної прямої.
, 
отримуємо 
- рівняння шуканої дотичній.
Воно не збігається з рівнянням даної прямий 
Значить, пряма не є дотичної до графіка функції .
Відповідь: ні.
Завдання №9.
Скласти рівняння всіх загальних дотичних до графіків функцій
і 
.
Рішення:
Дані функції диференціюються на R і тому їх графіки мають невертикальною дотичну в будь-якій точці.
якщо 
- рівняння шуканої дотичній, то кожне з рівнянь 
і 
повинно мати єдиний корінь (дотична до параболи має тільки одну спільну точку з параболою - точку дотику). Значить, дискриминант кожного рівняння має дорівнювати нулю.
, 
Параметри k і b повинні задовольняти системі 
Почленно віднімаємо з другого рівняння першого
або 
Рівняння загальних дотичних до графіків даних функцій:
або 
відповідь: або
Завдання №10.
Відомо, що пряма 
є дотичною до графіка функції 
Знайти координати точки дотику.
Рішення:
За умовою похідна функції 
в точці повинна бути дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної і значення даних функцій в точці повинні збігатися.
маємо систему 
1 або 
1 задовольняє другому рівнянню
, - 7 = - 7 - вірне.
не задовольняє другого рівняння. точкою дотику
Тому точкою дотику даної прямий і графіка функції 
буде точка А (1; -7).
Відповідь: (1; -7).
Завдання №11.
Парабола з вершиною на осі абсцис стосується прямої в точці
А (-1; -1). Знайти рівняння параболи.
Рішення:
Так як вершина параболи знаходиться на осі абсцис, то рівняння параболи має вигляд 
, m 
Визначимо m і а.
За умовою кутовий коефіцієнт дотичної дорівнює 1, значить
.
Точка А (-1; -1) належить параболі, тому її координати задовольняють рівняння параболи, тобто 
вирішуємо систему 
Поділимо перше рівняння на друге почленно
а = 1.
- шукане рівняння параболи.
відповідь: 
